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合肥家教:高三年级2017-2018 学年度第二学期理科数学期中练习


来源:合肥家教中心 日期:2018/9/11
一、选择题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项.
1.函数 的定义域为
A.[0,+ )   B.[1,+ )  C.(-  ,0] D.(- ,1]
2.某程序的框图如图所示,若输入的z=i(其中i为虚数单位),则输出的S 值为
A.-1   
B.1    
C.-i   
D.i
3.若x,y 满足 ,则 的最大值为
A.     B.3 
C.     D.4
4.某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为
A.    B. 
C.   D. 
5.已知数列  的前n 项和为Sn,则“  为常数列”是“ ”的
A.充分不必要条件   B.必要不充分条件
C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件
6.在极坐标系中,圆C1 : 与圆C2: 相交于 A,B两点,则|AB|=
A.1   B.   C.    D. 2
7.已知函数 是偶函数,则下列结论可能成立的是
A.    B. 
C.     D. 
8.某生产基地有五台机器,现有五项工作待完成,每台机器完成每项工作后获得的效益值
如表所示.若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大,则
下列叙述正确的是
 
A.甲只能承担第四项工作  B.乙不能承担第二项工作
C.丙可以不承担第三项工作  D.丁可以承担第三项工作
 
二、填空题共6 小题,每小题5 分,共30 分.
9.已知向量 ,若 ,则t = _______.
10.在等比数列 中,a2=2,且 ,则 的值为_______.
11.在三个数 中,最小的数是_______.
12.已知双曲线C: 的一条渐近线l 的倾斜角为 ,且C 的一个焦点到l 的距离
为 ,则C 的方程为_______.
13.如图,在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1,2,3 中的一个.
(ⅰ)当每条边上的三个数字之和为4 时,不同的填法有_______种;
(ⅱ)当同一条边上的三个数字都不同时,不同的填法有_______种.
 
14.已知函数 ,对于实数t ,若存在a>0,b >0 ,满足: ,使得
 2,则记a+b的最大值为H(t ).
(ⅰ)当  =2x时,H(0)= _______.
(ⅱ)当  且t 时,函数H(t)的值域为_______.
 
三、解答题共6 小题,共80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13 分)
如图,在△ABC 中,点D在边 AB上,且 .记∠ACD=  ,∠BCD= .
(Ⅰ)求证:  ;
(Ⅱ)若 ,求BC 的长.
 
16.(本小题满分13 分)
2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推
广.2015 年12 月10 日,我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法
上的贡献获得诺贝尔医学奖.目前,国内青蒿人工种植发展迅速.
某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响,在山上和山下的试验田中
分别种植了100 株青蒿进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4
株青蒿作为样本,每株提取的青蒿素产量(单位:克)如下表所示:
 
(Ⅰ)根据样本数据,试估计山下试验田青蒿素的总产量;
(Ⅱ)记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为 , ,根据样本数据,
试估计 与 的大小关系(只需写出结论);
(Ⅲ)从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株,记这2 株的产量总和为 ,求
随机变量 的分布列和数学期望.
 
 
17.(本小题满分14 分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,点M ,N
分别为线段PB,PC 上的点,MN⊥PB.
(Ⅰ)求证: BC⊥平面PAB ;
(Ⅱ)求证:当点M 不与点P ,B 重合时,M ,N ,D , A 四个点在同一个平面内;
(Ⅲ)当PA=AB=2,二面角C-AN -D的大小为 时,求PN 的 长.
 
18.(本小题满分13 分)
已知函数f (x) =ln x+ -1, 
(Ⅰ)求函数 f (x)的最小值;
(Ⅱ)求函数g(x)的单调区间;
(Ⅲ)求证:直线 y=x不是曲线 y =g(x)的切线。
 
19.(本小题满分14 分)
已知椭圆C: 的离心率为 ,椭圆C 与y 轴交于A , B 两点,
且|AB|=2.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在 y轴的右侧.直线PA,PB与直线x= 4
分别交于M , N 两点.若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E , F ,求点P 横
坐标的取值范围及|EF|的最大值.
 
20.(本小题满分13 分)
给定正整数n(n≥3),集合 .若存在集合A,B,C,同时满足下
列条件:
① U n =A∪B∪C,且A∩B = B∩C =A∩C= ;
②集合A 中的元素都为奇数,集合B 中的元素都为偶数,所有能被 3 整除的数都在集
合C 中(集合C 中还可以包含其它数);
③集合A , B ,C 中各元素之和分别记为SA , SB ,SC ,有SA =SB =SC ;
则称集合 Un为可分集合.
(Ⅰ)已知U8为可分集合,写出相应的一组满足条件的集合A , B ,C ;
(Ⅱ)证明:若n 是3 的倍数,则Un不是可分集合;
(Ⅲ)若Un为可分集合且n 为奇数,求n 的最小值.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
 
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学(理科) 2016.4   
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号[来源:学科网] 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C A C B C B
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分,
共30分)
9.  
 10.  
 11.    
 
12. 
 13.   
 14.  
 
 
 
 
 
 
 
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.解:(Ⅰ) 
在 中,由正弦定理,有                    …………………2分
在 中,由正弦定理,有                   …………………4分
因为 ,所以            …………………6分
因为 , 所以                               …………………7分
 
(Ⅱ)因为 , ,
由(Ⅰ)得                                   …………………9分
设 ,由余弦定理,
                      …………………11分
代入,得到 ,                     
解得 ,所以 .                                      …………………13分
 
16解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据,得样本平均数
                                   …………………2分
  则山下试验田 株青蒿的青蒿素产量 估算为
                   g                          …………………3分
(Ⅱ)比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差 和 ,结果为  .
 …………………6分
(Ⅲ)依题意,随机变量 可以取 ,    …………………7分
 ,  
 ,    
 ,                                …………………9分
 
7.2 7.4 8 8.2 8.6 9.4
p
 
 
 
 
 
 
随机变量 的分布列为
                                                               
                                                           …………………11分
随机变量 的期望 .
                                                           …………………13分
17解: 
(Ⅰ)证明:在正方形 中, ,                    …………………1分
 因为 平面 , 平面 , 所以 .      …………………2分
 因为 ,且 , 平面 ,
 所以 平面                                          …………………4分
(Ⅱ)证明:因为 平面 , 平面 , [来源:Zxxk.Com]
所以                                               …………………5分
在 中, , ,
所以 .                                             …………………6分
在正方形 中, , 所以 ,              …………………7分
所以  可以确定一个平面,记为             
所以 四个点在同一个平面 内                       …………………8分
(Ⅲ)因为 平面 , 平面 ,
 所以 , .                                                   
 又 ,如图,以 为原点, 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 ,                                                     …………………9分
所以 .
设平面 的一个法向量为 ,
平面 的一个法向量为 ,
设 ,  ,
因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,即 ,…………………10分  
取 ,  得到 ,                                 …………………11分
因为 , 
所以 ,即 ,         
取 得, 到 ,                                    …………………12分
因为二面 大小为 , 所以 ,         
所以     
解得 , 所以                                    …………………14分
18解: (Ⅰ)函数 的定义域为 ,                    …………………1分
                                         …………………2分
当 变化时, , 的变化情况如下表:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
极小值
 
                                                             …………………4分
函数 在 上的极小值为 ,        
所以 的最小值为                                         …………………5分
(Ⅱ)解:函数 的定义域为 ,                 …………………6分
                     …………………7分
由(Ⅰ)得, ,所以                           …………………8分
所以 的单调增区间是 ,无单调减区间.             …………………9分
(Ⅲ)证明:假设直线 是曲线 的切线.                   ………………10分
设切点为 ,则 ,即              …………………11分
又 ,则 .                           …………………12分
所以 , 得 ,与  矛盾   
所以假设不成立,直线 不是曲线 的切线                 …………………13分
 
19解:(Ⅰ)由题意可得, ,                               …………………1分
 ,                                                …………………2分
得 ,                                               …………………3分
 解 ,                                                  …………………4分
 椭圆 的标准方程为 .                               …………………5分
(Ⅱ)设 , , ,       
所以 ,直线 的方程为 ,            …………………6分
同理:直线 的方程为 ,                    
直线 与直线 的交点为 ,               …………………7分
直线 与直线 的交点为 ,
 线段 的中点 ,                                   …………………8分  
所以圆的方程为 ,               …………………9分
令 ,则 ,                      …………………10分
因为 ,所以  ,                          …………………11分
所以 ,
因为这个圆与 轴相交,该方程有两个不同的实数解,[来源:Z|xx|k.Com]
所以  ,解得 .                              …………………12分
设交点坐标 ,则 ( )
所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为2.                         …………………14分
 
方法二 :(Ⅱ)设 , , ,
所以 ,直线 的方程为 ,             …………………6分
同理:直线 的方程为 ,
直线 与直线 的交点为 ,               …………………7分
直线 与直线 的交点为 ,
若以MN为直径的圆与x轴相交,
则  ,                            …………………9分
即 
即                                      …………………10分
因为  ,所以  ,                          …………………11分 
代入得到  ,解得 .                         …………………12分
该圆的直径为 ,
圆心到x轴的距离 为 ,
该圆在x轴上截得的弦长为 ;
所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为2.                          …………………14分      
 
方法三:
(Ⅱ)设 , , , 
所以 ,直线 的方程为 ,             …………………6分
同理:直线 的方程为 ,
直线 与直线 的交点为 ,               …………………7分
直线 与直线 的交点为 ,
所以 ,               …………………8分
圆心到x轴的距离为 ,        …………………9分
若该圆与 轴相交,则   ,                        …………………10分
即 ,
因为  ,所以 ,                           …………………11分
所以 ,解得                                …………………12分
该圆在x轴上截得的弦长为 ;
所以该圆被 轴截 得的弦长为最大值为2.                        …………………14分
 
方法四: 记  ,  ,设 
由已知可得 ,
所以 的直线方程为 ,                       ……………………….6分
 的直线方程为 ,
令 ,分别可得 ,
  ,                        ……………………….8分
所以  
若以 为直径的圆与 轴相交于 ,
因为 , 所以 ,                      ……………………….9分
 
                                      ……………………….10分
因为  ,所以 ,                          ……………………….11分
代入得到                             
所以 ,                                            ……………………….12分
所以    
 
所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为2.                        …………………14分
 
方法五:
设直线  与 交于点  
因为  轴,所以有       
所以 ,所以 ,所以 是 的中点.            ……………………….6分
又设 , 所以直线 方程为 ,          ……………………….7分
令 ,得 , 所以                               ……………………….8分  
而                                                ……………………….9分
若以 为直径的圆与 轴相交于 
则                                           ……………………….10分
所以 
因为  ,所以 ,代入得到                    ……………………….11分
所以 ,所以 或 
因为点 ,所以                                ……………………….12分  
而 
       
所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为2.                         …………………14分
20解:
(I)依照题意,可以取 , ,      …………………3分
(II)假设存在 是 的倍数且 是可分集合.
  设 ,则依照题意 ,
故   ,
而这 个数的和为 ,故  , 矛盾,
所以 是3的倍数时, 一定不是可分集合                      …………………7分
(Ⅲ) 35.                                                  …………………8分
因为所有元素和为 ,又 中元素是偶数,所以 = ( 为正整数)
所以 ,因为 为连续整数,故这两个数一个为奇数,另一个为偶数
由(Ⅱ)知道, 不是3的倍数,所以一定有 是 的倍数.    [来源:Z+xx+k.Com]
当 为奇数时, 为偶数,而 ,
所以一定有 既是 的倍数,又是 的倍数,所以 ,
所以 .                                      …………………10分
定义集合 ,即集合 由集合 中所有不是3的倍数的奇数组成,
定义集合 ,即集合 由集合 中所有不是3的倍数的偶数组成,
根据集合 的性质知道,集合 ,
此时集合 中的元素之和都是 ,而 ,
此时 中所有 的倍数的和为 ,
 , 
显然必须从集合 中各取出一些元素,这些元素的和都是 ,
所以从集合 中必须取偶数个元素放到集合 中,所以 ,
所以 ,此时 
而令集合 ,
集合 ,
集合 ,
检验可知,此时 是可分集合, 所以 的最小值为 .             …………………13分
 

编辑者:合肥家教合肥家教网)